Question

已知方程x²+y²+kx+2y+k²=0表示圆，
（Ⅰ）求x²+y²+kx+2y+k²=0表示的圆中最大圆的面积
（Ⅱ）当圆有最大面积时，求直线y=（k-1）x+2的倾斜角α，并判断此时直线与圆的位置关系．

Answer 1

考点：圆的一般方程,二元二次方程表示圆的条件

专题：计算题,直线与圆

分析：（I）将题中的圆化成标准方程，可得圆的半径r满足r²=1-

3k2

4

，所以当k=0时r²最大，相应地圆有最大面积，并求得最大圆的面积为π；
（II）由（I）得圆有最大面积时k=-1，从而得到直线的倾斜角α=

3π

4

．再由点到直线的距离公式，算出圆心到直线的距离大于圆的半径，可判断出直线与圆相离．

解答： 解：（Ⅰ）把圆的方程化为标准式方程得(x+

k

2

)2+（y+1）²=1-

3k2

4

，
∴当圆的面积最大时，此时圆半径的平方最大，
由半径r满足r²=1-

3k2

4

，可得当k=0时r²最大，此时圆心坐标为（0，-1）
因此圆的最大半径为1，最大圆的面积为πr²=π；
（II）由（I）可得当k=0时圆有最大面积，
可得直线y=（k-1）x+2即y=-x+2，斜率k=-1．
∴直线倾斜角α满足tanα=-1，结合α∈[0，π）可得α=

3π

4

．
∵圆心（0，-1）到直线y=-x+2的距离为

|0-(-1)+2|

2

=

3 2

2

＞1，
∴圆心到直线的距离大于圆的半径，可得直线与圆相离．

点评：本题给出含有参数k的圆方程，求圆的最大面积并依此判断直线与圆的位置关系．着重考查了圆的方程、直线的基本量与基本形式、直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．