Question

在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，a=

2

b，2sinC+2sin(A-B)+

6

cos2A=

6

（1）求角B的大小．
（2）若a=2，a＜c求△ABC的面积S．

Answer 1

考点：正弦定理

专题：计算题,解三角形

分析：（1）利用两角和与差的三角函数公式、二倍角公式，化简题中的三角函数等式得2cosB=

6

sinA，然后利用a=

2

b算出sinA=

2

sinB，从而得出tanB的值，可得角B的大小．
（2）首先算出边b=

2

2

a=

2

，再根据（1）的结论及a＜c算出角A=

π

4

，进而算出sinC的值，最后利用三角形的面积公式加以计算，可得△ABC的面积S．

解答： 解：（1）∵2sinC+2sin(A-B)+

6

cos2A=

6

，
∴2sin(A+B)+2sin(A-B)=

6

(1-cos2A)，
即2sinAcosB=

6

sin2A，
结合sinA＞0，化简得2cosB=

6

sinA．
∵a=

2

b，∴由正弦定理可得sinA=

2

sinB．
因此，可得tanB=

sinB

cosB

=

3

3

，
而在△ABC中B∈（0，π），所以角B=

π

6

；
（2）∵a=

2

b，∴由正弦定理可得sinA=

2

sinB．
∴sinA=

2

sin

π

6

=

2

2

，
根据a＜c得到A＜C．
∴A=

π

4

，b=

2

，sinC=sin(A+B)=sin

5π

12

=

6 + 2

4

，
△ABC的面积S=

1

2

absin

5π

12

=

1

2

×2×

2

×

6 + 2

4

=

3 +1

2

．

点评：本题给出三角形ABC满足的条件，求角B的大小，并求三角形的面积．着重考查了三角恒等变换公式、正余弦定理与三角形的面积公式等知识，属于中档题．