Question

13．设抛物线y²=4x的焦点为F，准线为l．已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A．若∠FAC=120°，则圆的方程为（x+1）²+${（y-\sqrt{3}）}^{2}$=1．

Answer 1

分析 根据题意可得F（-1，0），∠FAO=30°，OA=$\frac{OF}{tan∠FAO}$=1，由此求得OA的值，可得圆心C的坐标以及圆的半径，从而求得圆C方程．

解答 解：设抛物线y²=4x的焦点为F（1，0），准线l：x=-1，∵点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切与点A，
∵∠FAC=120°，∴∠FAO=30°，∴OA=$\frac{OF}{tan∠FAO}$=$\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$=1，∴OA=$\sqrt{3}$，∴A（0，$\sqrt{3}$），如图所示：
∴C（-1，$\sqrt{3}$），圆的半径为CA=1，故要求的圆的标准方程为 ${（x+1）^2}+{（y-\sqrt{3}）^2}=1$，
故答案为：（x+1）²+${（y-\sqrt{3}）}^{2}$=1．

点评 本题主要考查求圆的标准方程的方法，抛物线的简单几何性质，属于中档题．