Question

6．设集合A={（x，y）|y=x²+2bx+1}，B={（x，y）|y=2a（x+b）}，且A∩B是单元素集合，若存在a＜0，b＜0使点P∈{（x，y）|（x-a）²+（y-b）²≤1}，则点P所在的区域的面积为2π．

Answer 1

分析 先根据A∩B是一个单元素集合，得到直线和抛物线相切，得到a²+b²=1，结合图象得到集合P的面积=半径为1小圆的面积+半径为2大圆的面积的$\frac{1}{4}$，问题得以解决

解答 解：集合A={（x，y）|y=x²+2bx+1}，B={（x，y）|y=2a（x+b）}，且A∩B是一个单元素集合，
∴直线和抛物线相切，
∴由x²+2bx+1=2a（x+b），即x²+2（b-a）x+1-2ab=0，有相等的实根，所以△=0即a²+b²=1，
∵存在a＜0，b＜0，P={（x，y）|（x-a）²+（y-b）²≤1}，
∴圆心在以原点为圆心，以1为半径的圆上的一部分（第三象限）
∴如图所示，集合P中圆的边界的移动是半径为1的圆的边界的移动就是沿着那个半径为2的那个$\frac{1}{4}$圆弧上，
∴集合P的面积=半径为1小圆的面积+半径为2大圆的面积的$\frac{1}{4}$，
∴集合C的面积=π+π=2π，
故答案为：2π．

点评 本题考查了直线和抛物线的位置关系，以及集合与集合的关系，关键是画出图形．