Question

9．若f（x）是偶函数，且在[0，+∞）上函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{（{\frac{3}{4}}）^x}，x＜1\\ 3-\frac{9}{4}x，x≥1\end{array}\right.$，则$f（{-\frac{3}{2}}）$与$f（{{a^2}+2a+\frac{5}{2}}）$的大小关系是（　　）

• A． $f（{-\frac{3}{2}}）＞f（{{a^2}+2a+\frac{5}{2}}）$
• B． $f（{-\frac{3}{2}}）＜f（{{a^2}+2a+\frac{5}{2}}）$
• C． $f（{-\frac{3}{2}}）≥f（{{a^2}+2a+\frac{5}{2}}）$
• D． $f（{-\frac{3}{2}}）≤f（{{a^2}+2a+\frac{5}{2}}）$

Answer 1

分析 根据题意，分析函数f（x）在区间[0，+∞）的单调性，由函数为偶函数可得$f（{-\frac{3}{2}}）$=f（$\frac{3}{2}$），分析可得a²+2a+$\frac{5}{2}$=（a+1）²+$\frac{3}{2}$≥$\frac{3}{2}$，结合函数在[0，+∞）的单调性分析可得答案．

解答 解：根据题意，在[0，+∞）上函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{（{\frac{3}{4}}）^x}，x＜1\\ 3-\frac{9}{4}x，x≥1\end{array}\right.$，
则函数在区间（1，+∞）上为减函数，
若f（x）是偶函数，则$f（{-\frac{3}{2}}）$=f（$\frac{3}{2}$），
又由a²+2a+$\frac{5}{2}$=（a+1）²+$\frac{3}{2}$≥$\frac{3}{2}$，
则有f（$\frac{3}{2}$）≥f（a²+2a+$\frac{5}{2}$），
即f（-$\frac{3}{2}$）≥f（a²+2a+$\frac{5}{2}$），
故选：C．

点评 本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，关键是分析函数在区间[0，+∞）上的单调性．