Question

抛物线C：y²=2px经过点M（4，-4），
（1）不过点M的直线l分别交抛物线于A、B两点，当直线l的斜率为

1

2

，求证：直线MA与直线MB的倾斜角互补．
（2）不经过点M的动直线l交抛物线C于P、Q两点，且以PQ为直径的圆过点M，那么直线l是否过定点？如果是，求定点的坐标；如果不是，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）代入点M，即可得到抛物线方程，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），设直线l的方程是y=

1

2

x+m，联立抛物线方程，消去x，得到y的二次方程，运用韦达定理，以及直线的斜率公式，化简整理即可得证；
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），以PQ为直径的圆过点M，则由

MP

⊥

MQ

，即有

MP

•

MQ

=0，由数量积的坐标公式，结合抛物线方程，即可得y₁y₂-4（y₁+y₂）=32=0，再由直线方程，即可得到定点．

解答： （1）证明：抛物线C：y²=2px经过点M（4，-4），
即有16=8p，解得，p=2．
则抛物线方程为y²=4x，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），设直线l的方程是y=

1

2

x+m，
由

y= 1 2 x+m y2=4x

，得y²-8y+8m=0，

y1+y2=8 y1y2=8m

kAM+kBM=

y1+4

x1-4

+

y2+4

x2-4

=

4

y1-4

+

4

y2-4

=

4(y1+y2-8)

(y1-4)(y2-4)

=0，
则直线MA与直线MB的倾斜角互补．
（2）解：设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），以PQ为直径的圆过点M，则由

MP

⊥

MQ

，
即有

MP

•

MQ

=0，
则（x₁-4）（x₂-4）+（y₁+4）（y₂+4）=0，
即(

y 2 1

4

-4)(

y 2 2

4

-4)+(y1+4)(y2+4)=0，
化简，得y₁y₂-4（y₁+y₂）+32=0，
则过PQ的直线为y=

4

y1+y2

(x+

y1y2

4

)=

4

y1+y2

(x+

4(y1+y2)-32

4

)=

4

y1+y2

(x-8)+4，
则直线恒过定点（8，4）．

点评：本题考查抛物线方程和运用，考查联立直线方程和抛物线方程，消去未知数，运用韦达定理，考查直线和圆的方程，以及直线的斜率公式的运用，考查运算能力，属于中档题．