Question

已知F₁，F₂是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，点P是该双曲线和圆x²+y²=a²+b²的一个交点，且△F₁PF₂的三边成等差数列，则该双曲线的离心率为

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,等差数列与等比数列,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设P为双曲线右支上一点，PF₁=m，PF₂=n，由圆的方程可得F₁，F₂为圆直径的两个端点，运用勾股定理和双曲线的定义，以及等差数列的性质，化简整理计算，再由离心率公式即可得到．

解答： 解：设P为双曲线右支上一点，
PF₁=m，PF₂=n，
由于x²+y²=a²+b²=c²，
则F₁，F₂为圆直径的两个端点，
即有PF₁⊥PF₂，
即m²+n²=4c²，①
由双曲线的定义可得m-n=2a，②
又n，m，2c成等差数列，
则2c+n=2m，③
由①③可得，n=

6

5

c，m=

8

5

c，
代入②得

2

5

c=2a，
则e=

c

a

=5．
故答案为：5．

点评：本题考查双曲线的定义和性质，考查离心率的求法，考查圆的直径所对的圆周角为直角，考查勾股定理的运用，考查运算能力，属于基础题．