Question

3．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知$\overrightarrow{a}$=（sinB-sinC，sinC-sinA），$\overrightarrow{b}$=（sinB+sinC，sinA），且$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$．
（1）求角B的大小；
（2）若$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{c}$•cosA，△ABC的外接圆的半径为1，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）根据$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，结合正弦定理和余弦定理求出B的值即可，（2）根据正弦定理以及三角形的面积公式求出即可．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}$=（sinB-sinC，sinC-sinA），$\overrightarrow{b}$=（sinB+sinC，sinA），且$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，
∴（sinB-sinC）•（sinB+sinC）+（sinC-sinA）•sinA=0，
∴b²=a²+c²-ac，
∴2cosB=1，
∴B=$\frac{π}{3}$；
（2）∵$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，∴△ABC是RT△，而B=$\frac{π}{3}$，故A=$\frac{π}{6}$，
由$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=2R，得：$\frac{a}{sin\frac{π}{6}}$=$\frac{b}{sin\frac{π}{3}}$=2，
解得：a=1，b=$\sqrt{3}$，
故S_△ABC=$\frac{1}{2}$•$\sqrt{3}$•1=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考察了向量数量积的运算，考察三角恒等变换，是一道中档题．