Question

设函数f（x）=

1+x2

x

（1）判断函数的奇偶性；
（2）计算f(

1

3

)+f(

1

2

)+f(1)-f(2)-f(3)的值；
（3）探究函数y=f（x）在[1，+∞）上的单调性，并用单调性的定义证明．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）求出原函数的定义域，然后直接利用f（-x）=-f（x）判断；
（2）求得f(

1

x

)-f(x)=0，由此可得f(

1

3

)+f(

1

2

)+f(1)-f(2)-f(3)的值；
（3）直接利用函数单调性的定义加以判断证明．

解答： 解：（1）f（x）的定义域（-∞，0）∪（0，+∞），
∵f(-x)=

1+(-x)2

-x

=

1+x2

-x

=-f(x)，
∴f（x）为奇函数；
（2）∵f(

1

x

)-f(x)=

1+( 1 x )2

1 x

-

1+x2

x

=

1+x2

x

-

1+x2

x

=0，
∴f(

1

3

)+f(

1

2

)+f(1)-f(2)-f(3)=f（1）=2；
（3）函数y=f（x）在[1，+∞）上的单调递增．
证明：f（x）=

1+x2

x

=

1

x

+x．
任取x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＜x₂，
则f(x1)-f(x2)=

1

x1

+x1-

1

x2

-x2=(x1-x2)-

x1-x2

x1x2

=(x1-x2)(1-

1

x1x2

)．
∵x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＜x₂，
∴x1-x2＜0，1-

1

x1x2

＞0．
则f（x₁）-f（x₂）＜0．
即f（x₁）＜f（x₂）．
∴函数y=f（x）在[1，+∞）上的单调递增．

点评：本题考查了函数奇偶性与单调性的判断方法，关键是熟记步骤并灵活运用，是中档题．