Question

已知f（

x

+1）=x+2

x

；
（1）求f（x）的解析式；
（2）用定义证明f（x）的单调性．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）令

x

+1=t，（t≥1），解出x并带入原函数解析式即可；
（2）根据单调性的定义，在定义域内设两个变量：x₁＞x₂≥1，然后通过作差比较f（x₁）和f（x₂）大小关系即可．

解答： 解：（1）令

x

+1=t，（t≥1），x=（t-1）²；
∴f（t）=（t-1）²+2（t-1）=t²-1；
∴f（x）=x²-1，x≥1；
（2）设x₁＞x₂≥1，则：
f(x1)-f(x2)=x12-x22=（x₁-x₂）（x₁+x₂）＞0；
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴函数f（x）在[1，+∞）上是增函数．

点评：考查通过换元求函数解析式的方法，以及根据单调性的定义证明函数单调性的过程．