Question

已知函数f（x）=xlnx．
（1）若函数g（x）=f（x）+x²+ax+2有零点，求实数a的范围；
（2）若f（x）≥k（x+1）（k∈Z）恒成立，求k的最大值．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：导数的综合应用

分析：（1）把函数f（x）的解析式代入g（x）=f（x）+x²+ax+2，分离参数a得到-a=lnx+x+

2

x

，把函数有零点转化为次方程在（0，+∞）上有实数根，构造函数h（x）=lnx+x+

2

x

，求出此函数在（0，+∞）上的最小值，由-a大于函数的最小值求解a的范围；
（2）把f（x）的解析式代入f（x）≥k（x+1），分离变量k，把不等式恒成立转化为k≤

xlnx

x+1

恒成立，由导数求出函数y=

xlnx

x+1

的最小值，则整数k的最大值可求．

解答： 解：（1）∵函数g（x）=f（x）+x²+ax+2有零点，
∴g（x）=xlnx+x²+ax+2在（0，+∞）上有实数根．
即-a=lnx+x+

2

x

在（0，+∞）上有实数根．
令h（x）=lnx+x+

2

x

，（x＞0），则h′（x）=

1

x

+1-

1

x2

=

x2+x-1

x2

．
解h′（x）＜0，得0＜x＜1，此时函数递减；
解h′（x）＞0，得x＞1，此时函数递增．
∴h（x）在x=1时取得极小值，同时也是最小值，
即最小值h（1）=3．
∴-a≥3，
解得a≤-3；
（2）f（x）≥k（x+1）（k∈Z）恒成立，则k≤

xlnx

x+1

，
令y=

xlnx

x+1

，y′=

lnx+x+1

(x+1)2

，
令m（x）=lnx+x+1，则m′（x）=

1

x

+1＞0，
∴m（x）=lnx+x+1在（0，+∞）上单调递增．
∵m（e^-2）＜0，m（e^-1）＞0，
∴在(

1

e2

，

1

e

)内存在一点x₀，使得m（x₀）=0．
∴当x∈（0，x₀）时，y′＜0，函数y=

xlnx

x+1

为减函数，
当x∈（x₀，+∞）时，y′＞0，函数y=

xlnx

x+1

为增函数，
∴当x=x₀时函数y=

xlnx

x+1

有最小值．
最小值为

x0lnx0

x0+1

∈(

1 e2 ln 1 e2

1 e2 +1

，

1 e ln 1 e

1 e +1

)=(-

2

1+e2

，-

1

1+e

)．
∵k≤

xlnx

x+1

，
∴k的最大值为-1．

点评：本题考查了函数恒成立问题，考查了分离变量法、函数构造法以及利用导数求函数的最值，属难题．