Question

17．已知数列{a_n}满足$\frac{1}{lg（1-\sqrt{{a}_{1}}）}$+$\frac{2}{lg（1-\sqrt{{a}_{2}}）}$+…+$\frac{n}{lg（1-\sqrt{{a}_{n}}）}$=-$\frac{n}{lg2}$（n≥1）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）对于任意实数x和正整数n，
（Ⅰ）证明：$\frac{{a}_{n}}{n}$≥x（$\frac{1}{{2}^{0}}$-x）+x（$\frac{1}{2}$-x）+x（$\frac{1}{{2}^{2}}$-x）+…+x（$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-x）；
（Ⅱ）证明：$\frac{{a}_{1}}{1}$+$\frac{{a}_{2}}{2}$+…+$\frac{{a}_{n}}{n}$＞$\frac{2（n-1）^{2}}{n（n+1）}$．

Answer 1

分析 （1）通过$\frac{1}{lg（1-\sqrt{{a}_{1}}）}$+$\frac{2}{lg（1-\sqrt{{a}_{2}}）}$+…+$\frac{n}{lg（1-\sqrt{{a}_{n}}）}$=-$\frac{n}{lg2}$与$\frac{1}{lg（1-\sqrt{{a}_{1}}）}$+$\frac{2}{lg（1-\sqrt{{a}_{2}}）}$+…+$\frac{n-1}{lg（1-\sqrt{{a}_{n-1}}）}$=-$\frac{n-1}{lg2}$（n≥2）作差，整理得a_n=1-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$+$\frac{1}{{4}^{n}}$（n≥2），进而可得结论；
（2）（Ⅰ）由（1）可知a_n=$（1-\frac{1}{{2}^{n}}）^{2}$，利用分组法求和及基本不等式可知结论成立；（Ⅱ）由（I）及柯西不等式整理即得结论．

解答 （1）解：∵$\frac{1}{lg（1-\sqrt{{a}_{1}}）}$+$\frac{2}{lg（1-\sqrt{{a}_{2}}）}$+…+$\frac{n}{lg（1-\sqrt{{a}_{n}}）}$=-$\frac{n}{lg2}$（n≥1），
∴$\frac{1}{lg（1-\sqrt{{a}_{1}}）}$+$\frac{2}{lg（1-\sqrt{{a}_{2}}）}$+…+$\frac{n-1}{lg（1-\sqrt{{a}_{n-1}}）}$=-$\frac{n-1}{lg2}$（n≥2），
两式相减得：$\frac{n}{lg（1-\sqrt{{a}_{n}}）}$=$\frac{n-1}{lg2}$-$\frac{n}{lg2}$，
整理得：a_n=1-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$+$\frac{1}{{4}^{n}}$（n≥2），
又∵$\frac{1}{lg（1-\sqrt{{a}_{1}}）}$=-$\frac{1}{lg2}$，即a₁=$\frac{1}{4}$满足上式，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=1-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$+$\frac{1}{{4}^{n}}$；
（2）证明：（Ⅰ）由（1）可知，a_n=$（1-\frac{1}{{2}^{n}}）^{2}$，
则x（$\frac{1}{{2}^{0}}$-x）+x（$\frac{1}{2}$-x）+x（$\frac{1}{{2}^{2}}$-x）+…+x（$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-x）
=x（$\frac{1}{{2}^{0}}$+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-nx）
=x•（$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$-nx）
=x[2（1-$\frac{1}{{2}^{n}}$）-nx]
=$\frac{1}{n}$•nx[2（1-$\frac{1}{{2}^{n}}$）-nx]
≤$\frac{（1-\frac{1}{{2}^{n}}）^{2}}{n}$，
即$\frac{{a}_{n}}{n}$≥x（$\frac{1}{{2}^{0}}$-x）+x（$\frac{1}{2}$-x）+x（$\frac{1}{{2}^{2}}$-x）+…+x（$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-x）；
（Ⅱ）由（I）可知，$\frac{{a}_{n}}{n}$≥$\frac{（1-\frac{1}{{2}^{n}}）^{2}}{n}$，
∴$\frac{{a}_{1}}{1}$+$\frac{{a}_{2}}{2}$+…+$\frac{{a}_{n}}{n}$≥$\frac{[（1-\frac{1}{2}）+（1-\frac{1}{{2}^{2}}）+…+（1-\frac{1}{{2}^{n}}）]^{2}}{1+2+3+…+n}$
=$\frac{[{n-\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}]}^{2}}{\frac{n（n+1）}{2}}$
=$\frac{2（n-1+\frac{1}{{2}^{n}}）^{2}}{n（n+1）}$
＞$\frac{2（n-1）^{2}}{n（n+1）}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查不等式，涉及基本不等式及柯西不等式等基础知识，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题．