Question

7．若函数$f（x）=|sinx+\frac{2}{3+sinx}+t|（x，t∈R）$最大值记为g（t），则函数g（t）的最小值为$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 化简sinx+$\frac{2}{3+sinx}$=sinx+3+$\frac{2}{3+sinx}$-3，从而可得0≤sinx+3+$\frac{2}{3+sinx}$-3≤$\frac{3}{2}$，区间[0，$\frac{3}{2}$]的中点值为$\frac{3}{4}$，故讨论t与$\frac{3}{4}$的大小，从而求得g（t）=f_max（x）=$\left\{\begin{array}{l}{t，t≥\frac{3}{4}}\\{\frac{3}{2}-t，t＜\frac{3}{4}}\end{array}\right.$，从而求值．

解答 解：∵sinx+$\frac{2}{3+sinx}$
=sinx+3+$\frac{2}{3+sinx}$-3，
∵-1≤sinx≤1，
∴2≤sinx+3≤4，
∴3≤sinx+3+$\frac{2}{3+sinx}$≤$\frac{9}{2}$，
∴0≤sinx+3+$\frac{2}{3+sinx}$-3≤$\frac{3}{2}$，
∴g（t）=f_max（x）=$\left\{\begin{array}{l}{t，t≥\frac{3}{4}}\\{\frac{3}{2}-t，t＜\frac{3}{4}}\end{array}\right.$，
∴当t=$\frac{3}{4}$时，函数g（t）有最小值为$\frac{3}{4}$；
故答案为；$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了对勾函数的应用及分段函数的应用，同时考查了正弦函数的性质及整体思想与分类讨论的思想．