Question

2．已知正六边形A₁A₂…A₆内接于圆O，点P为圆O上一点，向量$\overrightarrow{OP}$与$\overrightarrow{O{A_i}}$的夹角为θ_i（i=1，2，…，6），若将θ₁，θ₂，…，θ₆从小到大重新排列后恰好组成等差数列，则该等差数列的第3项为$\frac{5π}{12}$．

Answer 1

分析 设点P位于弧$\widehat{{A}_{1}{A}_{2}}$上时，设∠POA₁=α，当$0≤α＜\frac{π}{6}$时，则θ₁=α，θ₂=$\frac{π}{3}$-α，θ₃=$\frac{2π}{3}$-α，θ₄=π-α，θ₅=$α+\frac{2π}{3}$，θ₆=$α+\frac{π}{3}$．将θ₁，θ₂，…，θ₆从小到大重新排列后恰好组成等差数列，α，$\frac{π}{3}$-α，$α+\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$-α，$α+\frac{2π}{3}$，π-α，利用等差数列的性质即可得出．

解答 解：设点P位于弧$\widehat{{A}_{1}{A}_{2}}$上时，设∠POA₁=α，当$0≤α＜\frac{π}{6}$时，则θ₁=α，θ₂=$\frac{π}{3}$-α，θ₃=$\frac{2π}{3}$-α，θ₄=π-α，θ₅=$α+\frac{2π}{3}$，θ₆=$α+\frac{π}{3}$．
将θ₁，θ₂，…，θ₆从小到大重新排列后恰好组成等差数列，α，$\frac{π}{3}$-α，$α+\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$-α，$α+\frac{2π}{3}$，π-α，
由2（$\frac{π}{3}$-α）=α+$α+\frac{π}{3}$，解得α=$\frac{π}{12}$，此时六个角分别为：$\frac{π}{12}$，$\frac{3π}{12}$，$\frac{5π}{12}$，$\frac{7π}{12}$，$\frac{9π}{12}$，$\frac{11π}{12}$，成等差数列，
则该等差数列的第3项为 $\frac{5π}{12}$．
其它情况类比可得．
故答案为：$\frac{5π}{12}$．

点评 本题考查了向量的夹角、等差数列的通项公式及其性质，考查了分类讨论方法、类比推理与计算能力，属于中档题．