Question

已知：直线l：ax-y+4=0，圆C与x轴相切于点A（1，0），且过B（1+

3

，3）
（1）求圆C的方程；
（2）若直线l与圆C相切，求a的值；
（3）若直线l与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为2

3

，a的值．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系,圆的标准方程

专题：直线与圆

分析：（1）利用已知条件设出圆的方程，然后求出圆的半径，即可得到圆C的方程；
（2）利用圆心到直线的距离等于半径，列出方程求a的值；
（3）直线l与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为2

3

，利用圆心距与半径，半弦长满足勾股定理列出方程即可求解a的值．

解答： 解：（1）设圆的方程为：（x-1）²+（y-r）²=r²，r是圆的半径，
由题意可知B（1+

3

，3）在圆上：（

3

）²+（3-r）²=r²，解得r=2，
所求圆的分方程为：（x-1）²+（y-2）²=4．
（2）因为直线l：ax-y+4=0与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，
于是：2=

|a-2+4|

a2+1

，解得a=0或a=

4

3

．
（3）弦AB的长为2

3

，由r=2可得，弦心距d²=r²-(

AB

2

)2，从而解得d=1，
d=

|Ax0+By0+C|

A2+B2

，代入数据可得：
1=

|a-2+4|

a2+1

解得a=-

3

4

点评：本题考查直线与圆的位置关系，圆心到直线的距离公式的应用，考查计算能力，属于基本知识的考查．