Question

在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知bccosA=3，△ABC的面积为2．
（Ⅰ）求cosA的值；
（Ⅱ）若a=2

5

，求b+c的值．

Answer 1

考点：余弦定理的应用

专题：解三角形

分析：（I）利用三角形的面积计算公式、同角三角函数基本关系式即可得出．
（II）利用余弦定理及其（I）的结论即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）∵△ABC的面积为2，∴

1

2

bcsinA=2，
∴bcsinA=4．
∵bccosA=3，
∴3sinA=4cosA，
又sin²A+cos²A=1，
联立，解得cos²A=

9

25

．
∵cosA＞0，∴A为锐角，
从而cosA=

3

5

．
（Ⅱ）由余弦定理得 a²=b²+c²-2bccosA，
∵a=2

5

，
由（1）知cosA=

3

5

，
b2+c2-

6

5

bc=20，
又由（Ⅰ）得bc=

3

cosA

=5，
∴（b+c）²-2bc-

6

5

bc=20．
∴（b+c）²=36．
∵b+c＞0，
∴b+c=6．

点评：本题考查了三角形的面积计算公式、同角三角函数基本关系式、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．