Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D、E分别为CC₁、AD的中点，F为BB₁上的点，且B₁F=3BF
（I）证明：EF∥平面ABC；
（Ⅱ）若AC=2

2

，CC₁=2，BC=

2

，∠ACB=

π

3

，求三棱锥F-ABD的体积．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）设AC的中点为O，连结EO，OB，由已知条件推导出四边形EFBO是平行四边形，由此能够证明EF∥平面ABC．
（II）由已知结合余弦定理可得AB=

6

，进而利用勾股定理的逆定理可得AB⊥BC，进而得到AB⊥平面BFD，利用等积法可得V_F-ABD=V_A-BFD．

解答： 证明：（I）设AC的中点为O，连结EO，OB，
由题意知EO∥CC₁，且EO=

1

4

CC₁，BF∥CC₁，且BF=

1

4

CC₁，
∴EO∥BF，且EO=BF，
∴四边形EFBO是平行四边形，
∴EF∥OB，
∵EF?平面ABC，BO?平面ABC，
∴EF∥平面ABC．
解：（Ⅱ）由AC=2

2

，CC₁=2，BC=

2

，∠ACB=

π

3

，
∴由AB²=AC²+BC²-2AC•BCcos∠ACB=8+2-2×2

2

×

2

×

1

2

=6，
∴AB=

6

，
由AB²+BC²=AC²，得AB⊥BC，
∵AB⊥BB₁，BB₁∩BC=B，
∴AB⊥平面BFD，
∴VF-ABD=VA-BFD=

1

3

×(

1

2

×

2

×

1

2

)×

6

=

3

6

．

点评：题考查直线与平面平行的证明，考查棱柱体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．