Question

已知函数f（x）=cos²

x

2

-sin

x

2

cos

x

2

-

1

2

．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调增区间
（Ⅱ）求不等式f（x）≤-

6

4

的解集．

Answer 1

考点：二倍角的余弦,两角和与差的正弦函数,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式为f（x）=

2

2

cos（x+

π

4

），可得函数的最小正周期，令2kπ-π≤x+

π

4

≤2kπ，求得x的范围，可得函数的增区间．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得由不等式即 cos（x+

π

4

）≤-

3

2

，根据2kπ+

2π

3

≤x+

π

4

≤2kπ+

4π

3

，k∈z，求得x的范围．

解答： 解：（Ⅰ）函数f（x）=cos²

x

2

-sin

x

2

cos

x

2

-

1

2

=

1

2

（cosx-sinx）=

2

2

cos（x+

π

4

），
故函数的最小正周期为2π，
令2kπ-π≤x+

π

4

≤2kπ，求得2kπ-

5π

4

≤x≤2kπ-

π

4

，k∈z，
故函数的增区间为[2kπ-

5π

4

，2kπ-

π

4

]，k∈z．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得由不等式f（x）≤-

6

4

，即 cos（x+

π

4

）≤-

3

2

，
∴2kπ+

2π

3

≤x+

π

4

≤2kπ+

4π

3

，k∈z，求得 2kπ+

5π

12

≤x≤2kπ+

13π

12

，k∈z，
故不等式的解集为{x|2kπ+

5π

12

≤x≤2kπ+

13π

12

}，k∈z．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的周期性、单调性，属于基础题．