Question

过双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作B₁B₂⊥x轴交双曲线于B₁、B₂两点，B₂与左焦点F₁连线交双曲线于B点，连结B₁B交x轴于H，求证：H的横坐标为定值．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：证明题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：将直线BB₁：x=c，代入双曲线方程得，y=±

b2

a

，即有B₁（c，

b2

a

），B₂（c，-

b2

a

），求出直线B₂F₁：y=-

b2

2ac

（x+c），与双曲线的交点B的坐标，再由斜率公式，求出直线BB₁的斜率，写出直线方程，再令y=0，即可得到定值．

解答： 证明：由于F（c，0），F₁（-C，0），
则直线BB₁：x=c，代入双曲线方程得，y=±

b2

a

，
即有B₁（c，

b2

a

），B₂（c，-

b2

a

），
直线B₂F₁：y=-

b2

2ac

（x+c），与双曲线的交点B的坐标满足，

y=- b2 2ac (x+c) x2 a2 - y2 b2 =1

，解得B（

3cb2-4c3

4c2-b2

，

-b4

a(4c2-b2)

），
直线BB₁的斜率为k_BB1=

b2 a + b4 a(4c2-b2)

c- 3cb2-4c3 4c2-b2

=

b2c

a(2c2-b2)

，
直线BB₁：y=k_BB1（x-c）+

b2

a

，
令y=0，则x=c-

b2

a

•

1

kBB1

=-

a2

c

，
故H的横坐标为定值，且为-

a2

c

．

点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查联立双曲线方程和直线方程，解得交点，考查直线的斜率和直线方程的求法，考查化简整理的运算能力，属于中档题和易错题．