Question

8．已知函数$f（x）=（2-a）lnx+\frac{1}{x}，g（x）=2ax$，
（1）当a=0时，求f（x）的极值；
（2）若F（x）=f（x）+g（x）对任意的a∈（-3，-2），x₁，x₂∈[1，3]，恒有（m+ln3）a-2ln3＞|F（x₁）-F（x₂）|成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=0时，求出函数的导数，求出极值点，判断函数的单调性，即可推出结果．
（2）求出函数的导数，当-3＜a＜-2时，F（x）在$（\frac{1}{2}，+∞）$上是减函数，即F（x）在[1，3]上是减函数，利用x₁，x₂∈[1，3]，恒有（m+ln3）a-2ln3＞|F（x₁）-F（x₂）|成立，推出（m+ln3）a-2ln3＞|F（x₁）-F（x₂）|_max，转化为$m＜-4+\frac{2}{3a}$对任意-3＜a＜-2恒成立，然后求解即可．

解答 解：（1）当a=0时，$f（x）=2lnx+\frac{1}{x}，f'（x）=\frac{2}{x}-\frac{1}{x^2}=\frac{2x-1}{x^2}\;（x＞0）$，
由$f'（x）=\frac{2x-1}{x^2}＞0$，解得$x＞\frac{1}{2}$．
∴f（x）在$（0，\frac{1}{2}）$上是减函数，在$（\frac{1}{2}，+∞）$上是增函数．
∴f（x）的极小值为$f（\frac{1}{2}）=2-2ln2$，无极大值…（5分）
（2）$F（x）=（2-a）lnx+\frac{1}{x}+2ax$，
则$F'（x）=\frac{2-a}{x}-\frac{1}{x^2}+2a=\frac{{2a{x^2}+（2-a）x-1}}{x^2}=\frac{（ax+1）（2x-1）}{x^2}\;（x＞0）$．
当-3＜a＜-2时，F（x）在$（\frac{1}{2}，+∞）$上是减函数，即F（x）在[1，3]上是减函数，
∴$|{F（{x_1}）-F（{x_2}）}|≤F（1）-F（3）=\frac{2}{3}-4a+（a-2）ln3$，
由（m+ln3）a-2ln3＞|F（x₁）-F（x₂）|对任意的a∈（-3，-2），x₁，x₂∈[1，3]恒成立，
∴（m+ln3）a-2ln3＞|F（x₁）-F（x₂）|_max，
即$（m+ln3）a-2ln3＞\frac{2}{3}-4a+（a-2）ln3$对任意-3＜a＜-2恒成立，
即$m＜-4+\frac{2}{3a}$对任意-3＜a＜-2恒成立，
由于当-3＜a＜-2时，$-\frac{13}{3}＜-4+\frac{2}{3a}＜-\frac{38}{9}$，
∴$m≤-\frac{13}{3}$…（12分）

点评 本题考查函数的导数、函数的极值以及函数的恒成立的条件的应用，考查转化思想以及计算能力．