Question

18．底面边长为a的正四面体的体积为$\frac{\sqrt{2}}{12}$a³．

Answer 1

分析 求出正四面体的底面面积以及高，即可求解正四面体的体积．

解答 解：作正四面体的高SO，垂足为O，则O为等边三角形ABC的中心，
∵AB=a，∴AD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，AO=$\frac{2}{3}$AD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，
∴SO=$\sqrt{A{S}^{2}-A{O}^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$a，
∴正四面体的体积V=$\frac{1}{3}$S_△ABC•SO=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}×\frac{\sqrt{6}}{3}a$=$\frac{\sqrt{2}}{12}$a³．
故答案为：$\frac{{\sqrt{2}}}{12}{a^3}$．

点评 本题考查几何体的体积的求法，求解正四面体的高是解题的关键，属于中档题．