Question

13．已知x，y∈R，矩阵A=$[\begin{array}{l}{x}&{1}\\{y}&{o}\end{array}]$有一个属于特征值-2的特征向量a=$[\begin{array}{l}{1}\\{-1}\end{array}]$，
（1）求矩阵A；
（2）若矩阵$B=[{\begin{array}{l}1&2\\ 0&6\end{array}}]$，求A^-1B．

Answer 1

分析 （1）根据特征值的定义可知Aα=λα，利用待定系数法建立等式关系，从而可求矩阵A；
（2）利用公式求逆矩阵，即可求A^-1B．．

解答 解：（1）由题意可得$[\begin{array}{l}{x}&{1}\\{y}&{0}\end{array}][\begin{array}{l}{1}\\{-1}\end{array}]$=-2$[\begin{array}{l}{1}\\{-1}\end{array}]$，得$\left\{\begin{array}{l}{x-1=-2}\\{y=2}\end{array}\right.$
即x=-1，y=2； 
∴A=$[{\begin{array}{l}{-1}&1\\ 2&0\end{array}}]$4分
（2）|A|=-1，∴${A^{-1}}=[{\begin{array}{l}0&{\frac{1}{2}}\\ 1&{\frac{1}{2}}\end{array}}]$6分
∴${A^{-1}}B=[{\begin{array}{l}0&3\\ 1&5\end{array}}]$10分

点评 本题主要考查了二阶矩阵，以及特征值与特征向量的计算，同时考查了逆矩阵求解公式，属于基础题．