Question

设f（x）=

ex

1+ax

，其中a为正实数．
（Ⅰ）当a=

4

3

时，求f（x）的极值点；
（Ⅱ）若f（x）为R上的单调函数，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）先求f（x）的导函数，再利用f'（x）=0，根据单调性求极值点．
（2）根据导函数与单调性的关系判断f'（x）≥0在R上恒成立，再利用二次函数图象和性质讨论解决．

解答： 解：对f（x）求导f′（x）=e^x 

1+ax2-ax

(1+ax2)2

 ①
（I）a=

4

3

，f′（x）=0则4x²-8x+3=0解得x₁=

3

2

，x₂=

1

2

综合①，可知

x	（-∞， 1 2 ）	1 2	（ 1 2 ， 3 2 ）	3 2	（ 3 2 ，+∞）
f′（x）=	+	0	-	0	+
f（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

所以，x₁=

3

2

是极小值点，x₂=

1

2

是极大值点．
（II）若f（x）为R上的单调函数，则f′（x）在R上不变号，结合①与条件a＞0，ax²-2ax+1≥0
在R上恒成立，因为△=4a²-4a≤0由此并结a＞0，0＜a≤1

点评：本题考查了导数在判断单调性，极值问题中的应用．
还有已知函数的单调性，求解参变量范围问题，利用不等式的恒成立问题求解，这要求对函数、不等式问题理解要很深刻，应用灵活