Question

已知函数f （x）=log₄x+1，x∈[1，16]，F（x）=f （x²）+f ²（x），求F（x）的值域．

Answer 1

考点：函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：先求出函数F（x）的定义域，函数的解析式，再根据函数的单调性求出函数的值域．

解答： 解：由题意得：

x＞0 1≤x≤16 1≤x2≤16

，
解得：1≤x≤4，
∴0≤

log

x 4

≤1，
∵F（x）=

log

x2 4

+1+

(log

x 4

+1)2
=

(log

x 4

+2)2-3，
令t=

log

x 4

，∴0≤t≤1，
∴y=f（t）=（t+2）²-3，
对称轴t=-2，
∴函数y=f（t）在[0，1]上递增，
∴f（t）_min=f（0）=1，
f（t）_max=f（1）=6，
∴函数F（x）的值域为：[1，6]．

点评：本题考查了函数的定义域，函数的解析式，函数的值域的求法，考查对数函数的性质，本题属于中档题．