Question

已知函数f（x）=mx-

m-1

x

（m∈R），函数g（x）=

α

x

+2lnx（α≠0，α∈R）在[

1

2

，+∞]上为增函数．
（1）求α取值范围；
（2）当α最大时，如果m≥1，x≥1，求证：f（x）≥g（x）；
（3）当α=1时，设h（x）=

2e

x

，若在[1，e]上至少存在一个x₀，使得得f（x₀）-g（x₀）＞h（x₀）成立，求m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）先求导，再分离参数，继而求出结果；
（2）利用导数证明函数f（x）-g（x）的最小值大于等于0即可；
（3）构造函数F（x）=f（x）-g（x）-h（x），则只需F（x）_max＞0即可，分m≤0，m＞0两种情况讨论，m≤0时可判断函数的符号；m＞0时利用导数可得函数的最大值；

解答： 解：（1）函数g（x）=

α

x

+2lnx（α≠0，α∈R）在[

1

2

，+∞]上为增函数，
∴g′（x）=-

α

x2

+

2

x

≥0在[

1

2

，+∞]上恒成立，
即α≤2x在[

1

2

，+∞]上恒成立，
∴α≤1，
∴α取值范围为（-∞，1]，
（2）由（1）知，当α最大时，α=1，g（ x）=

1

x

+2lnx，
设G（x）=f（x）-g（x）=mx-

m-1

x

-

1

x

-2lnx=mx-

m

x

-2lnx，
∴G′（x）=m+

m

x2

-

2

x

=

mx2-2x+m

x2

，
令G′（x）=0，解得x=

1± 1-m2

m

，而1-m²≥0，
又m≥1，
∴m=1，
∴G′（x）=

(x-1)2

x2

≥0恒成立，
∴G（x）在[1，+∞）单调递增，
∴G（x）_min=G（1）=1-1-0=0，
∴f（x）-g（x）≥0
∴f（x）≥g（x）；
（3）构造函数F（x）=f（x）-g（x）-h（x），
∴F（x）=mx-

m

x

-2lnx-

2e

x

，
当m≤0时，∵x∈[1，e]，mx-

m

x

≤0，-2lnx-

2e

x

＜0，
∴F（x）＜0，即在[1，e]上不存在一个x₀，使得f（x₀）-g（x₀）＞h（x₀）成立．
当m＞0时，F′（x）=

mx2-2x+m+2e

x2

，
∵x∈[1，e]，∴2e-2x≥0，mx²+m＞0，∴F'（x）＞0在x∈[1，e]时恒成立．
故F（x）在x∈[1，e]时单调递增，
所以F（x）_max=F（e）=me-

m

e

，
只要me-

m

e

＞0，解得m＞

4e

e2-1

，
故m的取值范围是（

4e

e2-1

，+∞）

点评：本题主要考查对数函数的导数，函数单调性的判定，函数最值，函数、方程与不等式等基础知识，一般出题者喜欢考查学生的运算求解能力、推理论证能力及分析与解决问题的能力，要出学生会用数形结合的思想、分类与整合思想，化归与转化思想、有限与无限的思想来解决问题．