Question

已知函数h（x）=lnx+

1

x

（1）若g（x）=h（x+m），求g（x）的极小值；（提示：（y=ln（x+m）的导数y′=

1

x+m

））
（2）若φ（x）=h（x）-

1

x

+ax2-2x有两个不同的极值点，其极小值为M，试比较2M与-3的大小关系，并说明理由．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）求出g（x）=h（x+m）的导数，列表得到g（x）的单调区间和极值的关系，即可得到极小值；
（2）对φ（x）求导数，φ（x）有两个不同的极值点，即为2ax²-2x+1=0在（0，+∞）有两个不同的实根．设p（x）=2ax²-2x+1=0，运用韦达定理和判别式，即可得到0＜a＜

1

2

．列表得到φ（x）的单调区间和极值的关系，即可得到极小值M，令v（x）=-1+2lnx-2x，运用导数，得到v（x）在（1，+∞）递减，运用单调性即可得到2M＜-3．

解答： 解：（1）∵g（x）=h（x+m）
∴g(x)=ln(x+m)+

1

x+m

(x＞-m)，
g/(x)=

1

x+m

-

1

(x+m)2

=

x+m-1

(x+m)2

，

x	（-m，1-m）	1-m	（1-m，+∞）
g′（x）	-	0	+
g（x）	递减	极小值	递增

则g（x）的极小值=g（1-m）=1；
（2）φ（x）=h（x）-

1

x

+ax2-2x=ax²-2x+lnx（x＞0）
φ′（x）=2ax-2+

1

x

=

2ax2-2x+1

x

（x＞0）
∵φ（x）有两个不同的极值点，
∴2ax²-2x+1=0在（0，+∞）有两个不同的实根．
设p（x）=2ax²-2x+1=0，则

△＞0 1 a ＞0 1 2a ＞0

即

4-8a＞0 a＞0

，即有0＜a＜

1

2

．
 设p（x）在（0，+∞）的两根x₁，x₂且x₁＜x₂

x	（0，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
φ′（x）	+	0	-	0	+
φ（x）	递增	极大值	递减	极小值	递增

∴φ（x）的极小值为M=φ（x₂）=ax₂²-2x₂+lnx₂
又p（x）=0在（0，+∞）的两根为x₁，x₂，
∴2ax22-2x2+1=0
∴φ(x)极小值=M=φ(x2)=ax22-2x2+lnx2
=x2-

1

2

-2x2+lnx2=-

1

2

+lnx2-x2
∴2M=-1+2lnx₂-2x₂，
∵x2=

1+ 1-2a

2a

（0＜a＜

1

2

）
∴x₂＞1令v（x）=-1+2lnx-2x，v/(x)=

2

x

-2
∴x＞1时，v′（x）＜0，v（x）在（1，+∞）递减，
∴x＞1时，v（x）=-1+2lnx-2x＜v（1）=-3，
∴2M＜-3．

点评：本题考查导数的综合应用：求单调性和求极值，考查函数的单调性及运用，极值点的个数与方程根的关系，属于中档题．