Question

已知f（x）是二次函数，不等式f（x）＜0的解集为（0，5），且在区间[-1，4]上的最大值为12．
（1）求f（x）的解析式；
（2）解关于x的不等式：

2x2+(m-10)x-m2

f(x)

＞1（m＞0）．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由题意可设f（x）=ax（x-5），a＞0．再根据在区间[-1，4]上的最大值为f（-1）=12，求得a的值，可得f（x）的解析式．
（2）关于x的不等式即

2x2+(m-10)x-m2

2x2-10x

＞1，即2mx（x-m）（x-5）＞0，分类讨论求得它的解集．

解答： 解：（1）由题意可得，可设f（x）=ax（x-5），a＞0．
再根据在区间[-1，4]上的最大值为f（-1）=6a=12，求得 a=2，可得f（x）=2x（x-5）=2x²-10x．
（2）关于x的不等式：

2x2+(m-10)x-m2

f(x)

＞1（m＞0），即

2x2+(m-10)x-m2

2x2-10x

＞1，
即

mx-m2

2x2-10x

＞0，即 2mx（x-m）（x-5）＞0．
当0＜m＜5时，求得它的解集为（0，m）∪（5，+∞）；
当m≥5时，求得它的解集为（0，5）∪（m，+∞）．

点评：本题主要考查二次函数的性质，分式不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．