题目内容
已知函数f（x）=ax3+
x2-a2x（a＞0），存在实数x1，x2满足下列条件：①x1＜x2；②f′（x1）=f′（x2）=0；③|x1|+|x2|=2．
（1）证明：0＜a≤3；
（2）求b的取值范围．
| b |
（1）证明：0＜a≤3；
（2）求b的取值范围．
考点：二次函数的性质
专题：函数的性质及应用
分析：（1）由题意可得f′（x）=3ax2+2
x-a2，再根据方程f′（x）=0有解，利用判别式大于或等于零，求得a的范围．
（2）由 b=3a2（3-a）=-3a3+9a2，可得 b′=-9a2+18a，令b′=0，求得 a=0，或a=2．再根据在（0，2]上，b′＞0，函数b是增函数，求得b的范围．
| b |
（2）由 b=3a2（3-a）=-3a3+9a2，可得 b′=-9a2+18a，令b′=0，求得 a=0，或a=2．再根据在（0，2]上，b′＞0，函数b是增函数，求得b的范围．
解答：
解：（1）∵函数f（x）=ax3+
x2-a2x，∴f′（x）=3ax2+2
x-a2，
∵满足①x1＜x2；②f′（x1）=f′（x2）=0，
∴x1+x2=-
，x1x2=-
，由a＞0，得x1＜0＜x2．
∵|x1|+|x2|=2，∴x2-x1=2．
∴x1和x2是方程t2-2t+
=0的两个实根，∵方程有解，
∴△=4-
≥0，得0＜a≤3，即a的范围为（0，3]．
（2）由 b=3a2（3-a）=-3a3+9a2，
∴b′=-9a2+18a，令b′=0，求得 a=0，或 a=2，
∴0＜a≤2时，b′≥0，b在(0，2]上单调递增；故有 0≤b≤12．
| b |
| b |
∵满足①x1＜x2；②f′（x1）=f′（x2）=0，
∴x1+x2=-
2
| ||
| 3a |
| a |
| 3 |
∵|x1|+|x2|=2，∴x2-x1=2．
∴x1和x2是方程t2-2t+
| a |
| 3 |
∴△=4-
| 4a |
| 3 |
（2）由 b=3a2（3-a）=-3a3+9a2，
∴b′=-9a2+18a，令b′=0，求得 a=0，或 a=2，
∴0＜a≤2时，b′≥0，b在(0，2]上单调递增；故有 0≤b≤12．
点评：本题主要考查二次函数的性质，利用导数研究函数的单调性，属于基础题．
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