Question

以直角坐标系xOy的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，且两坐标系取相同的长度单位．已知点N的极坐标为（2，

π

2

），m是曲线C：ρ²cos2θ+1=0上任意一点，点P满足

OP

=

OM

+

ON

，设点P的轨迹为曲线Q
（1）求曲线Q的直角坐标方程；
（2）若直线l：

x=-2-t y=2- 3 t

(t为参数)与曲线Q的交点为A、B，求|AB|的长．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程,平面向量数量积的运算

专题：选作题,坐标系和参数方程

分析：（1）利用x=ρcosθ，y=ρsinθ，即可得出C的直角坐标方程；利用

OP

=

OM

+

ON

，确定坐标之间的关系，即可求曲线Q的直角坐标方程；
（2））把直线l：

x=-2-t y=2- 3 t

(t为参数)和曲线x²-（y-2）²+1=0联立，利用参数的几何意义，即可求|AB|的长．

解答： 解：（1）由已知曲线C：ρ²cos2θ+1=0得ρ²（cos²θ-sin²θ）+1=0
所以直角坐标方程为x²-y²+1=0，又点N的直角坐标为（0，2），
设P（x，y），M（x₁，y₁），由

OP

=

OM

+

ON

得（x，y）=（x₁，y₁）+（0，2）
所以

x1=x y1=y-2

代入

x

2 1

-

y

2 1

+1=0得x²-（y-2）²+1=0
所以曲线Q的直角坐标方程为x²-（y-2）²+1=0
（2）把直线l：

x=-2-t y=2- 3 t

(t为参数)和曲线x²-（y-2）²+1=0联立得2t²-4t-5=0，
∴|AB|=2|t1-t2|=2

14

．

点评：本题考查了直线的参数方程、圆的极坐标方程化为直角坐标方程，考查参数的几何意义，属于中档题．