Question

8．在数列{a_n}中，已知a₁=2，a_n+1=4a_n-3n+1
（1）证明：数列{a_n-n}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）由a_n+1=4a_n-3n+1，可得：a_n+1-（n+1）=4（a_n-n），即可证明数列{a_n-n}是等比数列．
（2）由（1）可得：a_n-n=4^n-1，即a_n=n+4^n-1，再利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出．

解答 （1）证明：由a_n+1=4a_n-3n+1，可得：a_n+1-（n+1）=4（a_n-n），a₁-1=1．
∴数列{a_n-n}是等比数列，首项为1，公比为4．
（2）解：由（1）可得：a_n-n=4^n-1，即a_n=n+4^n-1，
∴S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$+$\frac{{4}^{n}-1}{4-1}$．
即${S_n}=\frac{{{4^n}-1}}{3}+\frac{（n+1）n}{2}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的定义、通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．