Question

16．已知过点A（-2，0）的直线与x=2相交于点C，过点B（2，0）的直线与x=-2相交于点D，若直线CD与圆x²+y²=4相切，则直线AC与BD的交点M的轨迹方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1（x≠±2）．

Answer 1

分析 设C（2，y₁），D（-2，y₂），求出直线CD的方程，根据切线的性质得出y₁y₂=4，设M（x₀，y₀），用M点坐标表示出y₁，y₂，代入y₁y₂=4得出轨迹方程．

解答 解：设C（2，y₁），D（-2，y₂），则直线CD的方程为y-y₁=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{4}$（x-2），
即（y₁-y₂）x-4y+2（y₁+y₂）=0，
∵直线CD与圆x²+y²=4相切，
∴$\frac{2|{y}_{1}+{y}_{2}|}{\sqrt{（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}+16}}$=2，整理得y₁y₂=4．
设M（x₀，y₀），则直线AM的方程为y=$\frac{{y}_{0}}{{y}_{0}+2}$（x+2），
令x=2得y=$\frac{4{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$，即y₁=$\frac{4{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$，
同理得y₂=$\frac{-4{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$，
∵y₁y₂=4．
∴$\frac{4{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$•$\frac{-4{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$=4，
即x₀²+4y₀²=4，即$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$+y₀²=1．
∴M的轨迹方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1（x≠±2）．
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1（x≠±2）．

点评 本题考查了轨迹方程的求解，直线与圆的位置关系，属于中档题．