Question

18．正项数列{a_n}，a₁=1，前n项和S_n满足${S_n}•\sqrt{{S_{n-1}}}-{S_{n-1}}•\sqrt{S_n}=2\sqrt{{S_n}•{S_{n-1}}}（n≥2）$，则s_n=$\frac{1}{（2n-1）^{2}}$．

Answer 1

分析 正项数列{a_n}，a₁=1，前n项和S_n满足${S_n}•\sqrt{{S_{n-1}}}-{S_{n-1}}•\sqrt{S_n}=2\sqrt{{S_n}•{S_{n-1}}}（n≥2）$，可得：$\frac{1}{\sqrt{{S}_{n}}}$-$\frac{1}{\sqrt{{S}_{n-1}}}$=2，利用等差数列的通项公式即可得出．

解答 解：∵正项数列{a_n}，a₁=1，前n项和S_n满足${S_n}•\sqrt{{S_{n-1}}}-{S_{n-1}}•\sqrt{S_n}=2\sqrt{{S_n}•{S_{n-1}}}（n≥2）$，
∴$\frac{1}{\sqrt{{S}_{n}}}$-$\frac{1}{\sqrt{{S}_{n-1}}}$=2，
∴数列$\{\frac{1}{\sqrt{{S}_{n}}}\}$是等差数列，首项为1，公差为2．
∴$\frac{1}{\sqrt{{S}_{n}}}$=1+2（n-1）=2n-1．
∴S_n=$\frac{1}{（2n-1）^{2}}$．
故答案为：$\frac{1}{（2n-1）^{2}}$．

点评 本题考查了等差数列的定义通项公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．