Question

13．已知数列{a_n}的前n项和S_n=n²a_n（n≥2），且a₁=1，
（1）计算a₂、a₃、a₄，猜想数列{a_n}的通项公式；
（2）用数学归纳法证明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）利用数列的前n项和与第n项的关系，得到关于数列的递推关系式，即可求得此数列的前几项．
（2）用数学归纳法证明数列问题时分为两个步骤，第一步，先证明当n=1时，结论显然成立，第二步，先假设当n=k+1时，有a_k=$\frac{2}{k（k+1）}$，利用此假设证明当n=k+1时，结论也成立即可．

解答 解：（1）∵S_n=n²a_n，∴a_n+1=S_n+1-S_n=（n+1）²a_n+1-n²a_n
∴a_n+1=$\frac{n}{n+2}$a_n，
∴a₂=$\frac{1}{3}$，a₃=$\frac{1}{6}$，a₄=$\frac{1}{10}$．
（2）猜测 a_n=$\frac{2}{n（n+1）}$；下面用数学归纳法证：
①当n=1时，结论显然成立．
②假设当n=k时结论成立，即a_k=$\frac{2}{k（k+1）}$
则当n=k+1时，a_k+1=$\frac{k}{k+2}$a_k=$\frac{k}{k+2}$×$\frac{2}{k（k+1）}$=$\frac{2}{（k+1）（k+2）}$
故当n=k+1时结论也成立．
由①、②可知，对于任意的n∈N*，都有$a_n=\frac{2}{n（n+1）}$成立．

点评 本题主要考查数列递推式、数学归纳法，第（1）问要注意递推公式的灵活运用，第（2）问要注意数学归纳法的证明技巧．数学归纳法的基本形式设P（n）是关于自然数n的命题，若1°P（n₀）成立2°假设P（k）成立（k≥n₀），可以推出P（k+1）成立，则P（n）对一切大于等于n₀的自然数n都成立．