Question

某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P（mg/L）与时间t（小时）间的关系为P=P₀e^-kt．如果在前5个小时消除了10%的污染物，试求：
（1）10个小时后还剩百分之几的污染物？
（2）污染物减少50%所需要的时间．（参考数据：ln2=0.7，ln3=1.1，ln5=1.6）

Answer 1

考点：函数模型的选择与应用

专题：应用题,函数的性质及应用

分析：（1）由5小时后剩留的污染物列等式求出P=P₀e^-kt中k的值，得到具体关系式后代t=10求得10个小时后还剩污染物的百分数；
（2）由污染物减少50%，即P=50%P₀列等式50%P0=P0e(

1

5

ln0.9)t求解污染物减少50%所需要的时间．

解答： 解：（1）由P=P₀e^-kt，可知，当t=0时，P=P₀；
当t=5时，P=（1-10%）P₀．于是有
(1-10%)P0=P0e-5k，解得k=-

1

5

ln0.9，那么P=P0e(

1

5

ln0.9)t，
∴当t=10时，P=P0e(

1

5

ln0.9)×10=P0eln0.81=81%P₀．
∴10个小时后还剩81%的污染物；
（2）当P=50%P₀时，有50%P0=P0e(

1

5

ln0.9)t，
解得t=

ln0.5

1 5 ln0.9

=

5ln 1 2

ln 9 10

=5•

-ln2

ln9-ln10

=5•

ln2

ln2+ln5-2ln3

=35．
∴污染物减少50%所需要的时间为35个小时．

点评：本题考查了函数模型的选择及应用，关键是对题意的理解，由题意正确列出相应的等式，考查了计算能力，是中档题．