题目内容
已知正六棱台的上下底面的边长分别为a，b（a＜b），侧面和底面所围成的二面角为60°，则它的侧面积为 ．
考点：二面角的平面角及求法
专题：空间位置关系与距离,空间角
分析：正六棱台侧面积S=3（a+b）x高，上下两面的面积差为
(a2-b2)，由已知条件推导出侧面积为棱台上下面差面积的二倍，由此能求出它的侧面积．
3
| ||
| 2 |
解答：
解：正六棱台侧面积S=3（a+b）x高，
将上下两面平分为两个相等的等腰梯形，
所以上下面面积可以表示为
a和
b，
现在将上平面投射到下平面，
上下两面的面积差为
(a2-b2)，
然后连接上面投影与下面的6个棱角，
下面比上面多出的面积正好是6个等腰梯形组成（后文称小梯形），
而这梯形的上下底与侧面梯形上下底同是a与b，
过投影一顶点A到棱台下面对应边的垂线交于B，
则这条垂线AB就是“小梯形”的高，
再过B作B所在棱台侧面的等腰梯形的高交上面边于C，
则BC为棱台侧面等腰梯形的高，
由已知条件得知二面角为60°，
则BC=2AC 所以侧面积为棱台上下面差面积的二倍，
∴它的侧面积为S=2×
(a2-b2)=3
（a2-b2）．
故答案为：3
（a2-b2）．
将上下两面平分为两个相等的等腰梯形，
所以上下面面积可以表示为
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| 2 |
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| 2 |
现在将上平面投射到下平面，
上下两面的面积差为
3
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| 2 |
然后连接上面投影与下面的6个棱角，
下面比上面多出的面积正好是6个等腰梯形组成（后文称小梯形），
而这梯形的上下底与侧面梯形上下底同是a与b，
过投影一顶点A到棱台下面对应边的垂线交于B，
则这条垂线AB就是“小梯形”的高，
再过B作B所在棱台侧面的等腰梯形的高交上面边于C，
则BC为棱台侧面等腰梯形的高，
由已知条件得知二面角为60°，
则BC=2AC 所以侧面积为棱台上下面差面积的二倍，
∴它的侧面积为S=2×
3
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| 2 |
| 3 |
故答案为：3
| 3 |
点评：本题考查正六棱台侧面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
练习册系列答案
相关题目
一只小蜜蜂在边长为4的正三角形内爬行，某时刻此小蜜蜂距三角形三个顶点的距离均超过2的概率为（ ）
A、1-
| ||||
B、1-
| ||||
C、
| ||||
D、
|
若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（ ）
| A、若m?β，α⊥β，则m⊥α |
| B、若α∩γ=m，β∩γ=n，m∥n，则α∥β |
| C、若m⊥β，m∥α，则α⊥β |
| D、若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ |