Question

14．已知平面上一定点C（4，0）和一定直线l：x=1，P（x，y）为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且$|\overrightarrow{PC}|=2|\overrightarrow{PQ}|$
（1）问点P在什么曲线上？并求出该曲线的方程；
（2）设直线l：y=kx+1与（1）中的曲线交于不同的两点A，B，是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过点D（0，-2）？若存在，求出k的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）设P点坐标为（x，y），由|$\overrightarrow{PC}$|=2|$\overrightarrow{PQ}$|，得（x-4）²+y²-4（x-1）²=0，由此得到P点在双曲线上，并能求出其方程．
（2）联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{12}=1}\end{array}\right.$，得（3-k²）x²-2kx-13=0，由此利用根的判别式、韦达定理、圆、直线垂直，结合已知条件能求出存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过点D（0，-2）．

解答 解：（1）设P点坐标为（x，y），
由|$\overrightarrow{PC}$|=2|$\overrightarrow{PQ}$|，得|$\overrightarrow{PC}$|²=4|$\overrightarrow{PQ}$|²，
∴（x-4）²+y²-4（x-1）²=0，
化简，得$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{12}$=1，
∴P点在双曲线上，其方程为$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{12}$=1．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{12}=1}\end{array}\right.$，得（3-k²）x²-2kx-13=0，
∵AB与双曲线交于两点，∴△=4k²-4（3-k²）（-13）＞0，
解得-$\frac{\sqrt{13}}{2}$＜k＜$\frac{\sqrt{13}}{2}$，
∴${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{2k}{3-{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=-\frac{13}{3-{k}^{2}}$，
∵以AB为直径的圆过D（0，-2），则AD⊥BD，
∴k_AD•k_BD=-1，即$\frac{{y}_{1}+2}{{x}_{1}}•\frac{{y}_{2}+2}{{x}_{2}}$=-1，
∴（y₁+2）（y₂+2）+x₁x₂=0，∴（kx₁+3）（kx₂+3）+x₁x₂=0，
∴（k²+1）x₁x₂+3k（x₁+x₂）+9=0，
∴（k²+1）（-$\frac{13}{3-{k}^{2}}$）+3k$•\frac{2k}{3-{k}^{2}}$+9=0，
解得k²=$\frac{7}{8}$，∴k=$±\frac{\sqrt{14}}{4}$∈（-$\frac{\sqrt{13}}{2}$，$\frac{\sqrt{13}}{2}$），
∴存在k的值为±$\frac{\sqrt{14}}{4}$．

点评 本题考查曲线类型的判断及其方程的求法，考查满足条件的直线的斜率是否存在的判断与求法，考查双曲线、根的判别式、韦达定理、圆、直线垂直等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．