Question

已知函数f（x）=1-

1-2x

，g（x）=lnx，对于任意m＜

1

2

，都存在n＞0使得f（m）=g（n），则n-m的最小值为

 

．

Answer 1

考点：函数的零点与方程根的关系

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：由题意可得1-

1-2m

=lnn；从而可得n=e1-

1-2m

；令1-

1-2m

=t，t＜1；则m=t-

t2

2

，从而得到y=n-m=e^t-t+

t2

2

；求导求函数的最小值即可．

解答： 解：由m＜

1

2

知，
1-

1-2m

＜1；
由f（m）=g（n）可化为
1-

1-2m

=lnn；
故n=e1-

1-2m

；
令1-

1-2m

=t，t＜1；
则m=t-

t2

2

，
则y=n-m=e^t-t+

t2

2

；
故y′=e^t+t-1在（-∞，1）上是增函数，
且y′=0时，t=0；
故y=n-m=e^t-t+

t2

2

在t=0时有最小值，
故n-m的最小值为1；
故答案为：1．

点评：本题考查了导数的综合应用及换元法的应用，属于基础题．