Question

已知函数f（x）=

a

x

+lnx，其中a∈R．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若不等式f（x）≥1在x∈（0，e]上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数单调性的判断与证明

专题：导数的综合应用

分析：（1）求函数的定义域，利用函数单调性和导数之间的关系即可求出函数的单调区间，
（2）化简不等式，分离参数，构造函数，利用导数求出函数最大值，问题得以解决．

解答： 解：（1）∵定义域为（0，+∞）
∴f′（x）=-

a

x2

+

1

x

=

x-a

x2

，
①当a≤0，f′（x）≥0，恒成立，
∴f（x）在定义域（0，+∞）单调递增；
②当a＞0，当x＞a时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
当0＜x＜a，f′（x）＜0，f（x）单调递减．
∴函数f（x）的单调递增区间：（a，+∞），单调递减区间：（0，a）
（2）∵f（x）≥1在（0，e]上恒成立，
∴

a

x

+lnx≥1，
即a≥-xlnx+x任意x∈（0，e]上恒成立，
令g（x）=-xlnx+x，x∈（0，e]，
∴g′（x）=-lnx，
令g′（x）=0，解得x=1，
∴g（x）在（0，1]递增，在（1，e]递减，
∴g（x）_max=g（1）=1，
∴a≥1

点评：本题主要考查了导数和函数的单调性和最值的关系，以及恒成立问题，分离参数，求最值是常用的方法，属于中档题