Question

已知函数f（x）=ax²+bx+c，a≠0，其中a∈N^*，b∈N，c∈Z，并且b＞2a，函数y=f（sinx）（x∈R）最大值为2，最小值为-4，
（1）求f（x）的表达式；
（2）已知a＞0，若对任意x₁∈R，总存在x₂∈（0，

3π

4

），使得f（x₁）＞

a

2

cosx₂-4恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据二次函数的性质即可求f（x）的表达式；
（2）根据不等式恒成立，转化为求函数的最值即可．

解答： 解：（1）由函数f（x）开口向上，对称轴x=-

b

2a

＜-1知，f（x）在[-1，1]上为增函数，
故f（1）=a+b+c=2，f（-1）=a-b+c=-4，
所以b=3，a+3=-1，
又b＞2a，
故a=1，c=-2，
则f（x）=x²+3x-2．
（2）因为x₂∈（0，

3π

4

），
所以

a

2

cosx₂-4∈（-

2 a

4

-4，

a

2

-4），
若对任意x₁∈R，总存在x₂∈（0，

3π

4

），使得f（x₁）＞

a

2

cosx₂-4恒成立，
那么f（x）_min＞-

2 a

4

-4，-

17

4

＞-

2 a

4

-4，解得a＞

2

2

，
综上a＞

2

2

．

点评：本题主要考查二次函数的图象和性质，根据不等式恒成立转化为求函数的最值是解决本题的关键．