Question

抛物线的顶点在原点，它的准线过椭圆C：

x2

a2

+

y 2

b2

=1（a＞b＞0）的一个焦点，并与椭圆的长轴垂直，已知抛物线与椭圆的一个交点为(-

2

3

，

2 6

3

)．
（1）求抛物线的方程和椭圆C的方程；
（2）若双曲线与椭圆C共焦点，且以y=±

4

3

x为渐近线，求双曲线的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由题意可设出抛物线的标准方程为y²=-2px（p＞0），代入点的坐标，即可解得p，得到抛物线方程，得到准线方程，即有椭圆的焦点坐标，再由a，b，c的关系和点满足椭圆方程，解得a，b，即可得到椭圆方程；
（2）由题意得到双曲线的c=1，设出双曲线方程，求出渐近线方程，得到a₁，b₁的方程组，解得即可．

解答： 解：（1）由题意可知抛物线开口向左，
故设抛物线的标准方程为y²=-2px（p＞0），
∵点(-

2

3

，

2 6

3

)在抛物线y2=-2px(p＞0)上，
∴(

2 6

3

)2=-2p•(-

2

3

)，∴p=2，
∴抛物线的方程为y²=-4x；
故准线方程为x=1，
∴椭圆C的右焦点坐标为（1，0），∴c=1，
由于点（-

2

3

，

2 6

3

）也在椭圆上，
则

4 9 a2 + 24 9 b2 =1 a2-b2=c2=1

解得，

a2=4 b2=3

．
∴椭圆C的标准方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）因为双曲线与椭圆C共焦点，
所以双曲线的焦点也在x轴上，且c=1，
则设双曲线的方程为

x2

a12

-

y2

b12

=1(a1＞0，b1＞0)，
由题意可知：

b1 a1 = 4 3 c2=a12+b12=1

，
解得

a12= 9 25 b12= 16 25

，
∴双曲线的标准方程为

25x2

9

+

25y2

16

=1．

点评：本题考查圆锥曲线的方程和性质，主要考查双曲线的渐近线和抛物线的准线方程和运用，考查运算能力，属于基础题．