Question

定义运算：|

ab cd

|=ad-bc
（1）若已知k=1，解关于x的不等式|

x 1 1 x-k

|＜0
（2）若已知f（x）=|

x 1 -1 k-x

|，对任意x∈[-1，1]，都有f（x）≤

5

4

k+

5

2

，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：其他不等式的解法

专题：计算题,新定义,分类讨论,不等式的解法及应用

分析：（1）由新定义，得到二次不等式，解得即可；
（2）由新定义，得到f（x），由于任意x∈[-1，1]，都有f（x）≤

5

4

k+

5

2

，则f（x）_max≤

5

4

k+

5

2

，对k讨论，若

k

2

＜-1，若-1≤

k

2

≤1，若

k

2

＞1，运用二次函数的单调性，即可得到最大值，解不等式求出k的范围．

解答： 解：（1）由k=1，不等式|

x 1 1 x-k

|＜0，
则为x（x-1）-1＜0，解得，

1- 5

2

＜x＜

1+ 5

2

，
则解集为（

1- 5

2

，

1+ 5

2

）；
（2）f（x）=|

x 1 -1 k-x

|=-x²+kx+1，
由于任意x∈[-1，1]，都有f（x）≤

5

4

k+

5

2

，
则f（x）_max≤

5

4

k+

5

2

，
f（x）的图象开口向下，对称轴为直线x=

k

2

，
①若

k

2

＜-1，即k＜-2，则f（x）在[-1，1]为减函数，
所以f(x)max=f(-1)=-k≤

5

4

k+

5

2

，解得k≥-

10

9

，所以k∈∅；
②若-1≤

k

2

≤1，即-2≤k≤2，则f(x)max=f(

k

2

)=

k2

4

+1≤

5

4

k+

5

2

，解得-1≤k≤6
所以-1≤k≤2；
③若

k

2

＞1，即k＞2，则f（x）在[-1，1]为增函数，
所以f(x)max=f(1)=k≤

5

4

k+

5

2

，解得k≥-10，所以k＞2．
综上所述，k的取值范围是[-1，+∞）．

点评：本题考查新定义的理解和运用，考查不等式恒成立思想转化为求函数最值问题，考查二次函数在闭区间上的最值，属于中档题和易错题．