Question

已知f（x）=x²+bx+2．
（1）若f（x）在（-∞，1）上单调递减，求实数b的取值范围；
（2）若f（x）在区间[1，3]上最大值为8，求实数b的值；
（3）若函数g（x）的定义域为D，[p，q]⊆D，用分法T：p=x₀＜x₁＜x₂＜…＜x_n=q将区间[p，q]任意划分成n个小区间，如果存在一个常数M＞0，使得不等式|g（x₁）-g（x₀）|+|g（x₂）-g（x₁）|+|g（x₃）-g（x₂）|+…+|g（x_n）-g（x_n-1）|≤M恒成立，则称函数g（x）在区间[p，q]上具有性质σ（M）．试判断当b=-2时，函数f（x）在[0，3]上是否具有性质σ（M）？若是，求M的最小值；若不是，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（I）由题意，f（x）=x²+bx+2图象开口向上，对称轴x=-

b

2

；故-

b

2

≥1∴b≤-2；
（II）讨论对称轴的位置，分当-

b

2

≤2， b≥-4时，当-

b

2

＞2， b＜-4时讨论函数的最大值，从而求b；
（III）当b=-2时，函数f（x）在[0，1]单调递减，而在[1，3]单调递增，从而可得必存在i∈（0，n），使得x_i-1≤1，x_i＞1；则|g（x₁）-g（x₀）|+|g（x₂）-g（x₁）|+|g（x₃）-g（x₂）|+…+|g（x_n）-g（x_n-1）|=g（x₀）-g（x₁）+g（x₁）-g（x₂）+…+g（x_i-2）-g（x_i-1）+|g（x_i-1）-g（x_i）|+g（x_i+1）-g（x_i）+g（x_i+2）-g（x_i+1）+…+g（x_n）-g（x_n-1）=g（x₀）-g（x_i-1）+g（x_n）-g（x_i）+|g（x_i-1）-g（x_i）|（*）；故只需讨论g（x_i-1）-g（x_i）的正负即可，从而求解．

解答： 解：（I）f（x）=x²+bx+2图象开口向上，对称轴x=-

b

2

依题意：-

b

2

≥1∴b≤-2；
（II）当-

b

2

≤2， b≥-4时，
f_max（x）=f（3）=11+3b=8，
∴b=-1；
当-

b

2

＞2， b＜-4时，
f_max（x）=f（1）=3+b=8，
∴b=5（舍去）；
综上所述：b=-1；
（III）当b=-2时，函数f（x）在[0，1]单调递减，而在[1，3]单调递增，
对任意划分T：0=x₀＜x₁＜…＜x_i-1＜x_i＜…＜x_n=3，
必存在i∈（0，n），使得x_i-1≤1，x_i＞1；
g（0）=g（x₀）＞g（x₁）＞…＞g（x_i-2）＞g（x_i-1）≥g（1）；
g（1）＜g（x_i）＜g（x_i+1）＜…＜g（x_n-1）＜g（x_n）=g（3）；
|g（x₁）-g（x₀）|+|g（x₂）-g（x₁）|+|g（x₃）-g（x₂）|+…+|g（x_n）-g（x_n-1）|
=g（x₀）-g（x₁）+g（x₁）-g（x₂）+…+g（x_i-2）-g（x_i-1）+|g（x_i-1）-g（x_i）|+g（x_i+1）-g（x_i）+g（x_i+2）-g（x_i+1）+…+g（x_n）-g（x_n-1）
=g（x₀）-g（x_i-1）+g（x_n）-g（x_i）+|g（x_i-1）-g（x_i）|（*）；
（法一）：当g（x_i-1）≥g（x_i）时，
（*）=g（x₀）+g（x_n）-2g（x_i）＜g（x₀）+g（x_n）-2g（1）=g（0）+g（3）-2g（1）=5；
当g（x_i-1）＜g（x_i）时，
（*）=g（x₀）+g（x_n）-2g（x_i-1）＜g（x₀）+g（x_n）-2g（1）=g（0）+g（3）-2g（1）=5；
所以存在常数M≥5，使得

n

i=1

|f(xi)-f(xi-1)|≤M恒成立，
所以M的最小值为5．
（法二）：（*）=g（x₀）-g（x_i-1）+g（x_n）-g（x_i）+|g（x_i-1）-g（1）+g（1）-g（x_i）|
≤g（x₀）-g（x_i-1）+g（x_n）-g（x_i）+|g（x_i-1）-g（1）|+|g（1）-g（x_i）|
=g（x₀）-g（x_i-1）+g（x_n）-g（x_i）+g（x_i-1）-g（1）+g（x_i）-g（1）
=g（x₀）+g（x_n）-2g（1）
=g（0）+g（3）-2g（1）=5；
所以存在常数M≥5，使得

n

i=1

|f(xi)-f(xi-1)|≤M恒成立，
所以M的最小值为5．

点评：本题考查了二次函数的性质应用及绝对值问题，属于难题．