Question

已知函数y=f（x），若在定义域内存在x₀，使得f（-x₀）=-f（x₀）成立，则称x₀为函数f（x）的局部对称点．
（1）若a∈R且a≠0，证明：函数f（x）=ax²+x-a必有局部对称点；
（2）若函数f（x）=2^x+b在区间[-1，2]内有局部对称点，求实数b的取值范围；
（3）若函数f（x）=4^x-m•2^x+1+m²-3在R上有局部对称点，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数的图象,函数的值

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据定义构造方程ax²+x-a=0，再利用判别式得到方程有解，问题得以解决．
（2）根据定义构造方程2^x+2^-x+2b=0在区间[-1，2]上有解，再利用换元法，设t=2^x，求出b的范围，问题得以解决．
（3）根据定义构造方程4^x+4^-x-2m（2^x+2^-x）+2（m²-3）=0…（*）在R上有解，再利用换元法，设t=2^x+2^-x，方程变形为t²-2mt+2m²-8=0 在区间[2，+∞）内有解，再根据判别式求出m的范围即可

解答： 解：（1）由f（x）=ax²+x-a得f（-x）=ax²-x-a，
代入f（-x）=-f（x） 得ax²+x-a+ax²-x-a=0
得到关于x的方程ax²-a=0（a≠0），
其中△=4a²，由于a∈R且a≠0，所以△＞0恒成立，
所以函数f（x）=ax²+x-a必有局部对称点；
（2）f（x）=2^x+b在区间[-1，2]内有局部对称点，
∴方程2^x+2^-x+2b=0在区间[-1，2]上有解，于是-2b=2^x+2^-x，
设t=2^x，

1

2

≤t≤4，
∴-2b=t+

1

t

，其中2≤t+

1

t

≤

17

4

，
所以-

17

8

≤b≤-1
（3）∵f（-x）=4^-x-m•2^-x+1+m²-3，
由f（-x）=-f（x），∴4^-x-m•2^-x+1+m²-3=-（4^x-m•2^x+1+m²-3），
于是 4^x+4^-x-2m（2^x+2^-x）+2（m²-3）=0…（*）在R上有解，
令t=2^x+2^-x（t≥2），则4^x+4^-x=t²-2，
∴方程（*）变为t²-2mt+2m²-8=0 在区间[2，+∞）内有解，需满足条件：

△=4m2-8(m2-4)≥0 2m+ 4(8-m2) 2 ≥2

即

-2 2 ≤m≤2 2 1- 3 ≤m≤2 2

，
化简得1-

3

≤m≤2

2

点评：本题依据新定义，考查了方程的解得问题以及参数的取值范围，以及换元的思想，转化思想，属于难题