Question

18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若向量$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$sinA，sinB），$\overrightarrow{n}$=（cosB，$\sqrt{3}$cosA），$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=$\sqrt{3}$+cos（A+B）．
（1）求∠C；
（2）若c=3，b=$\sqrt{3}$a，求△ABC的面积S．

Answer 1

分析 （1）由条件利用两个向量的数量积的公式求得sin（C+$\frac{π}{6}$）的值，可得C的值．
（2）由条件利用余弦定理求得a的值，可得△ABC的面积S．

解答 解：（1）由题意可得 $\overrightarrow m•\overrightarrow n=\sqrt{3}sinAcosB+\sqrt{3}cosAsinB=\sqrt{3}+cos（A+B）$，∴$\sqrt{3}sinC+cosC=\sqrt{3}$，
∴$sin（C+\frac{π}{6}）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，∴$C=\frac{π}{6}$或$C=\frac{π}{2}$．
（2）当$C=\frac{π}{6}$时，根据c=3，b=$\sqrt{3}$a，由余弦定理得c²=a²+b²-2ab•cosC，
求得 a=3，∴$S=\frac{1}{2}•\sqrt{3}{b^2}sin\frac{π}{6}=\frac{{9\sqrt{3}}}{4}$，
当$C=\frac{π}{2}$时，由勾股定理得a=$\frac{3}{2}$，∴$S=\frac{1}{2}•\sqrt{3}{b^2}=\frac{{9\sqrt{3}}}{8}$，

点评 本题主要考查两个向量的数量积的公式，余弦定理的应用，属于基础题．