Question

3．已知函数f（x）=λ（x-2λ）（x+λ+3），g（x）=2^x-2，满足：?x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0，则实数λ的取值范围是（-4，0）．

Answer 1

分析 先求出g（x）＜0得解，然后满足：?x∈R，f（x）＜0恒成立即可，结合一元二次函数的性质进行求解即可．

解答 解：由g（x）＜0得2^x-2＜0得2^x＜2得x＜1，即当x≥1时，g（x）≥0，
又∵?x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0，
∴f（x）=λ（x-2λ）（x+λ+3）＜0，在x≥1时恒成立，
则二次函数f（x）=λ（x-2λ）（x+λ+3）的图象开口只能向下，且与x轴交点都在（1，0）的左侧，
∴$\left\{\begin{array}{l}{λ＜0}\\{-λ-3＜1}\\{2λ＜1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{λ＜0}\\{λ＞-4}\\{λ＜\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
解得-4＜λ＜0，
所以实数λ的取值范围是：（-4，0）．
故答案为：（-4，0）．

点评 本题主要考查函数恒成立问题，结合一元二次函数的性质是解决本题的关键．