Question

13．过双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0），作圆x²+y²=$\frac{{a}^{2}}{4}$的切线，切点为E，延长FE交双曲线左支于点M，且E是MF的中点，则双曲线离心率为（　　）

• A． $\sqrt{10}$
• B． $\frac{\sqrt{10}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{10}}{5}$
• D． 2$\sqrt{10}$

Answer 1

分析 原点O为两焦点的中点，利用中位线的性质，求出PF′的长度及判断出PF′垂直于PF，通过勾股定理得到a，c的关系，进而求出双曲线的离心率．

解答 解：如图，记右焦点为F′，则O为FF′的中点，
∵E为PF的中点，∴OE为△FF′P的中位线，∴PF′=2OE=a，
∵E为切点，∴OE⊥PF，∴PF′⊥PF，
∵点P在双曲线上，∴PF-PF′=2a，∴PF=PF′+2a=3a，
在Rt△PFF′中，有：PF²+PF′²=FF′²，∴9a²+a²=4c²，即10a²=4c²，
∴离心率e=$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}}=\frac{\sqrt{10}}{2}$，
故选：B．

点评 本题考查双曲线的简单性质、圆的方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．