Question

5．已知函数f（x）=sin（ωx-$\frac{π}{4}$）（ω＞0，x∈R）的最小正周期为x．
（1）求f（$\frac{π}{6}$）；
（2）在给定的坐标系中，用列表描点的方法画出函数y=f（x）在区间[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上的图象，并根据图象写出其在[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上的单调递减区间．

Answer 1

分析 （1）依题意先解得ω=2，可得解析式f（x）=sin（2x-$\frac{π}{4}$），从而可求f（$\frac{π}{6}$）的值．
（2）先求范围2x-$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{5π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，列表，描点，连线即可五点法作图象，并根据图象写出其在（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）上的单调递减区间．

解答 解：（1）由题意$\frac{2π}{ω}=π$，∴ω=2，
∴f（x）=sin（2x-$\frac{π}{4}$），
∴f（$\frac{π}{6}$）=sin（$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$；
（2）∵x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，
∴2x-$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{5π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，
列表如下：

2x-$\frac{π}{4}$	-$\frac{5π}{4}$	-π	-$\frac{π}{2}$	0	$\frac{π}{2}$	$\frac{3π}{4}$
x	-$\frac{π}{2}$	-$\frac{3π}{8}$	-$\frac{π}{8}$	$\frac{π}{8}$	$\frac{3π}{8}$	$\frac{π}{2}$
f（x）	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	0	-1	0	1	$\frac{\sqrt{2}}{2}$

画出函数y=f（x）在区间[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上的图象如下：

由图象可知函数y=f（x）在（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）上的单调递减区间为（-$\frac{π}{2}$，-$\frac{π}{8}$），（$\frac{3π}{8}$，$\frac{π}{2}$）

点评 本题主要考察了五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象，三角函数的图象与性质，属于中档题．