Question

18．数列{a_n}中，a₁=1，当n≥2时，其前n项和为S_n，满足${S}_{n}^{2}$=a_n（S_n-$\frac{1}{2}$）．
（Ⅰ）求证：数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是等差数列，并求S_n的表达式；
（Ⅱ）设b_n=$\frac{{S}_{n}}{2n+1}$，数列{b_n}的前n项和为T_n，不等式T_n≥$\frac{1}{18}$（m²-5m）对所有的n∈N^*恒成立，求正整数m的最大值．

Answer 1

分析 （1）由$S_n^2={a_n}（{S_n}-\frac{1}{2}），{a_n}={S_n}-{S_{n-1}}（n≥2）$，化为：$\frac{1}{{S}_{n}}-\frac{1}{{S}_{n-1}}$=2，即可证明．利用等差数列的通项公式即可得出．
（2）b_n=$\frac{{S}_{n}}{2n+1}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，再利用“裂项求和”方法、数列的单调性即可得出．

解答 （1）证明：∵$S_n^2={a_n}（{S_n}-\frac{1}{2}），{a_n}={S_n}-{S_{n-1}}（n≥2）$，
∴${S}_{n}^{2}$=（S_n-S_n-1）$（{S}_{n}-\frac{1}{2}）$，化为：$\frac{1}{{S}_{n}}-\frac{1}{{S}_{n-1}}$=2，
所以数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是首项为1，公差为2的等差数列．
故$\frac{1}{{S}_{n}}$=1+2（n-1）=2n-1，∴S_n=$\frac{1}{2n-1}$．
（2）解：b_n=$\frac{{S}_{n}}{2n+1}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
∴T_n=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$≥$\frac{1}{3}$．
又∵不等式T_n≥$\frac{1}{18}$（m²-5m）对所有的n∈N^*恒成立，
∴$\frac{1}{3}$≥$\frac{1}{18}$（m²-5m），
化简得：m²-5m-6≤0，解得：-1≤m≤6．
∴正整数m的最大值为6．

点评 本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式与求和公式、数列的单调性、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．