Question

函数f（x）=ax-

a

x

-2lnx（a∈R） 
（Ⅰ）当a=

1

2

时，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若a＞

2e

e2+1

，若m，n分别为f（x）的极大值和极小值，若S=m-n，求S取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出导数，令它大于0，得到增区间，令小于0，得到减区间，注意定义域；
（Ⅱ）设f′（x）=0的两根为x₁，x₂（x₁＜x₂），所以m=f（x₁），n=f（x₂），S=m-n=2（ax₁-

a

x1

-2lnx₁），将a=

2x1

1+x12

，代入化简，构造函数g（x）=

x-1

x+1

-

1

2

lnx，求导数，应用单调性，即可得到S的范围．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=a+

a

x2

-

2

x

=

ax2-2x+a

x2

（x＞0），
a=

1

2

时，f′（x）=

x2-4x+1

2x2

，
f′（x）＞0，得x＞2+

3

或0＜x＜2-

3

；f′（x）＜0，得2-

3

＜x＜2+

3

．
则f（x）的单调增区间为（0，2-

3

），（2+

3

，+∞），单调减区间为（2-

3

，2+

3

）．
（Ⅱ）由△＞0得4-4a²＞0，即-1＜a＜1且

2e

1+e2

＜a＜1，得

2e

1+e2

＜a＜1，
此时设f′（x）=0的两根为x₁，x₂（x₁＜x₂），所以m=f（x₁），n=f（x₂），
因为x₁x₂=1，所以x₁＜1＜x₂，
由

2e

1+e2

＜a＜1，且ax₁²-2x₁+a=0，得

1

e

＜x₁＜1，
所以S=m-n=ax₁-

a

x1

-2lnx₁-（ax₂-

a

x2

-2lnx₂）=ax₁-

a

x1

-2lnx₁-（

a

x1

-ax₁+2lnx₁）
=2（ax₁-

a

x1

-2lnx₁）
由ax₁²-2x₁+a=0得a=

2x1

1+x12

，代入上式得，
S=4（

x12-1

x12+1

-lnx₁）=4（

x12-1

x12+1

-

1

2

lnx₁²）
令x₁²=t，所以

1

e2

＜t＜1，g（x）=

x-1

x+1

-

1

2

lnx，则S=4g（t），
g′（t）=

-(x-1)2

2x(x+1)2

＜0，所以g（x）在[

1

e2

，1]上单调递减，从而g（1）＜g（t）＜g（

1

e2

），
即0＜g（t）＜

2

1+e2

，所以0＜S＜

8

1+e2

．

点评：本题考查导数的综合应用：求单调区间和求极值，考查二次方程的两根的关系，构造函数应用导数判断单调性，是一道综合题．