Question

设函数f（x）=lnx-ax+

1-a

x

-1．
（1）当a=1时，求曲线f（x）在x=1处的切线方程；
（2）当a=

1

3

时，求函数f（x）的单调区间；
（3）在（2）的条件下，设函数g（x）=x²-2bx-

5

12

，若对于?x₁∈[1，2]，?x₁∈[0，1]，使f（x₁）≥g（x₂）成立，求实数b的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（1）求出函数的导数，求出切线的斜率和切点坐标，即可得到切线方程；
（2）求出导数，令导数大于0，得到增区间，令小于0，得到减区间，注意定义域；
（3）对于?x₁∈[1，2]，?x₂∈[0，1]使f（x₁）≥g（x₂）成立?g（x）在[0，1]上的最小值不大于f（x）在[1，2]上的最小值．讨论b＜0，0≤b≤1，b＞1，g（x）的最小值，检验它与f（x）的最小值之间的关系，即可得到b的范围．

解答： 解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），
f′（x）=

1

x

-a-

1-a

x2

     　                        
（1）当a=1时，f（x）=lnx-x-1，∴f（1）=-2，
f′（x）=

1

x

-1，∴f′（1）=0
∴f（x）在x=1处的切线方程为y=-2．
（2）f′（x）=-

x2-3x+2

3x2

=-

(x-1)(x-2)

3x2

．
∴当0＜x＜1，或x＞2时，f′（x）＜0；                         
当1＜x＜2时，f′（x）＞0．
当a=

1

3

时，函数f（x）的单调增区间为（1，2）；单调减区间为（0，1），（2，+∞）．
（3）当a=

1

3

时，由（2）可知函数f（x）在（1，2）上为增函数，
∴函数f（x）在[1，2]上的最小值为f（1）=-

2

3

         
若对于?x₁∈[1，2]，?x₂∈[0，1]使f（x₁）≥g（x₂）成立
?g（x）在[0，1]上的最小值不大于f（x）在[1，2]上的最小值（*）                    
又g（x）=x²-2bx-

5

12

=（x-b）²-b²-

5

12

，x∈[0，1]，
①当b＜0时，g（x）在[0，1]上为增函数，
[g（x）]_min=g（0）=-

5

12

＞-

2

3

与（*）矛盾                 
②当0≤b≤1时，[g（x）]_min=g（b）=-b²-

5

12

，
由-b²-

5

12

≤-

2

3

及0≤b≤1，得，

1

2

≤b≤1；                                       
③当b＞1时，g（x）在[0，1]上为减函数，
[g（x）]_min=g（1）=

7

12

-2b≤-

2

3

及b＞1得b＞1．
综上，b的取值范围是[

1

2

，+∞）．

点评：本题考查函数的导数的综合应用：求切线方程和单调区间、求极值和最值，考查分类讨论的思想方法，考查任意的总存在的不等式成立的类型，转化为求函数的最值，属于中档题．